Você pode baixar/salvar para o seu computador os arquivos de vídeo e música (MP3) não só do YouTube, mas também do Facebook e muitos outros sites!
Instale o NetVideoHunter Video Downloader e reinicie o Firefox. Se tiver problemas, consulte como instalar extensões.
Se você já instalou o NetVideoHunter e reiniciou o Firefox, está apto a salvar no seu HD e reproduzir vídeos do YouTube.
Abra o YouTube em uma página de vídeo.

Clique no ícone do NetVideoHunter Video Downloader na barra de ferramentas do Firefox.

Na janela que abrirá, clique no botão Baixar do vídeo desejado.

Uma janela irá abrir para salvar o arquivo. Escolha o nome e clique em Salvar.

Após o Firefox finalizar o download, dê um duplo clique e o vídeo (ou música) será aberto no aplicativo associado.
O NetVideoHunter não é a única opção para salvar vídeos. Há outras muito populares, como o Video DownloadHelper.
O YouTube usa majoritariamente arquivos no formato FLV, utilizado pelo plugin Flash. Os computadores não vêm com um programa (media player) para reproduzir esse tipo de vídeo. Portanto, é necessário instalar um.
Para Windows, uma das opções gratuitas é o FLV Player. Ele apenas reproduz arquivos FLV.

O VideoLAN (VLC) também pode reproduzir esse formato e está disponível para todos os sistemas. É um player para vários tipos de arquivo e pode converter FLV para outros formatos.
O YouTube to MP3 cria links que permitem salvar facilmente apenas o áudio dos vídeos.
Você pode iniciar uma pesquisa no YouTube diretamente do campo de pesquisa do Firefox.

Acesse uma página do YouTube e então clique no logotipo do site de pesquisa. No fim da lista selecione Adicionar Pesquisa de vídeos do YouTube.
Veja no site de complementos do Firefox outras extensões para o YouTube.